Tính chất chung

• Đường tròn là hình có diện tích lớn nhất với chu vi cho trước. (Xem Bất đẳng thức đẳng chu)
• Đường tròn có tính đối xứng cao: tâm của đường tròn là tâm đối xứng và các đường kính là các trục đối xứng
• Mọi đường tròn đều đồng dạng.
  • Chu vi đường tròn tỉ lệ thuận với bán kính theo hằng số 2π.
  • Diện tích hình tròn tỉ lệ thuận với bình phương bán kính theo hằng số π.
• Đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính là 1 gọi là đường tròn đơn vị.
  • Đường tròn lớn của hình cầu đơn vị là đường tròn Riemann.

• Tập hợp tất cả các điểm nhìn đoạn thẳng dưới 1 góc vuông là đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó

Dây cung

• Dây cung cách đều tâm khi và chỉ khi chúng dài bằng nhau.
• Trong cùng một đường tròn, dây càng dài thì càng gần tâm.
• Đường kính vuông góc với dây cung tại trung điểm của dây cung đó
• Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây.
• Đường kính là dây cung dài nhất trong đường tròn
• Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chia một dây thành hai đoạn a và b, chia dây cung kia thành c và d, thì ab = cd (gọi là phương tích của điểm đó).
• Nếu giao điểm hai dây cung cắt nhau chia một dây thành hai đoạn a và b, chia dây cung kia thành m và n, thì a2 + b2 + m2 + n2  = d2 (với d là đường kính).
• Tổng bình phương chiều dài 2 dây cung vuông góc tại một điểm cố định không đổi và bằng 8r2 – 4p2 (với r là bán kính đường tròn, p là khoảng cách từ tâm đường tròn đến giao điểm đó).
• Khoảng cách từ một điểm trên đường tròn đến một dây cung nhân với đường kính bằng tích của khoảng cách điểm đó đến 2 đầu mút của dây cung.
• 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau căng 2 dây bằng nhau thì 2 cung đó bằng nhau và ngược lại
• Với 2 cung nhỏ của một đường tròn hoặc 2 đường tròn bằng nhau, cung nào căng dây lớn hơn(hoặc bé hơn) thì cung đó lớn hơn(hoặc bé hơn) và ngược lại.

Tiếp tuyến

• Đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính nằm trên đường tròn là một đường tiếp tuyến với đường tròn.
• Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc với đường tròn thì đi qua tâm.
• Từ một điểm nằm ngoài đường tròn luôn vẽ được hai tiếp tuyến với đường tròn.
• Nếu hai tiếp tuyến tại A và B với đường tròn tâm O cắt nhau tại P thì
  • B O A ^ + B P A ^ = 180 ∘ {\displaystyle {\widehat {BOA}}+{\widehat {BPA}}=180^{\circ }} .
  • PA=PB
  • Tia PO là phân giác của góc B O A ^ {\displaystyle {\widehat {BOA}}} và B P A ^ {\displaystyle {\widehat {BPA}}}
• Nếu AD tiếp xúc với đường tròn tại A và AQ một dây cung của đường tròn, thì D A Q ^ = A Q ⌢ 2 {\displaystyle {\widehat {DAQ}}={\frac {\overset {\frown }{AQ}}{2}}} .

Định lý

Định lý hai cát tuyến

• Định lý dây cung phát biểu nếu hai dây cung, CD và EB, cắt nhau tại A thì AC.AD = AB.AE.
• Nếu hai cát tuyến, AE và AD, cắt đường tròn lần lượt tại B và C thì AC.AD = AB.AE. (Hệ quả của định lý dây cung)
• Một tiếp tuyến có thể coi như một giới hạn của cát tuyến với đầu mút trùng nhau. Nếu tiếp tuyến từ điểm A nằm ngoài đường tròn cắt đường tròn tại F và một cát tuyến từ A cắt đường tròn lần lượt tại C và D thì AF2 = AC.AD. (Định lý tiếp tuyến-cát tuyến)
• Góc nằm giữa một dây cung và tiếp tuyến tại một đầu dây cung bằng một nửa góc ở tâm bị chắn bởi dây cung đó (Tangent Chord Angle).
• Nếu góc ở tâm bị chắn bởi dây cung là góc vuông thì ℓ = r√2, với ℓ là độ dài dây cung và r là bán kính đường tròn.
• Nếu hai cát tuyến cắt đường tròn như bên thì góc A bằng nửa hiệu hai cung tạo thành (DE và BC), tức  2 B A C ^ = D O E ^ − B O C ^ {\displaystyle 2{\widehat {BAC}}={\widehat {DOE}}-{\widehat {BOC}}} , với O là tâm đường tròn. Đây là định lý 2 cát tuyến với đường tròn.

Sagitta

Sagitta là đoạn thẳng xanh.

• Sagitta (còn được biết là versine) là đoạn thẳng vuông góc với dây cung, đi qua trung điểm của dây cung và cung mà dây đó chắn.
• Cho độ dài y của dây và độ dài x sagitta, ta có thể dùng định lý Pytago để tính bán kính của đường tròn duy nhất vừa với 2 đoạn thẳng:

r = y 2 8 x + x 2 . {\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}

Một chứng minh khác của kết quả này sử dụng tính chất hai dây cung như sau: Cho dây cung có độ dài y và sagitta có độ dài x, vì sagitta đi qua trung điểm của dây cung, nó phải là một phần đường kính. Do đường kính dài gấp đôi bán kinh, phần "bị thiếu" của đường kính có độ dài (2r − x). Do một phần của một dây cung này nhân phần kia không đổi khi dây quay quanh giao điểm, ta tìm được ( 2 r − x ) x = ( y 2 ) 2 {\displaystyle (2r-x)x=\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}} . Giải tìm r, ta nhận được kết quả như trên.